As grandes sacadas do Cálculo - Parte I

Diferenciação

A diferenciação é o processo de achar a derivada, e a derivada de uma curva é apenas um termo sofisticado do cálculo para a inclinação da curva. A inclinação de uma curva é também uma simples razão como quilômetros por hora ou lucro por produto vendido. 

Vamos lembrar então da derivada como uma inclinação! Isso mesmo eu disse lembrar, pois eu já falei sobre isso. Na primeira postagem, quando falei da rampa curvilínea, foi um claro exemplo de diferenciação.

Quando aprenderam álgebra, ou em trigonometria, vocês aprenderam sobre a inclinação da reta, sendo como a razão entre o aumento (altura) e a distância (comprimento horizontal). Em outras palavras: inclinação = aumento / distância (vai ser Freud escrever um blog que não possui capacidade para escrita matemática).

Observem a figura! A reta a possui uma inclinação. Para calcular o valor dessa inclinação definimos duas medidas (horizontal e vertical), uma no eixo das abcissas (x) e outro no eixo das ordenadas (y), ou como foi dito aumento e distância, onde o aumento é representado pela letra b  e a distância pela letra c. Logo a inclinação é b/c.

Se atribuirmos b = 1 e c = 3 teremos a inclinação igual 1/3. Mas se caso, considerássemos b = 2 e c = 6, também teríamos a mesma inclinação, mas isso é uma questão de fração irredutível, não vem ao caso.

A inclinação de uma reta é sempre constante, entre qualquer dois pontos definidos na reta, podemos calcular sua inclinação, que será sempre constante. Já em uma curva, não se pode afirmar o mesmo, a inclinação está constantemente mudando então você precisa do Cálculo para determinar a inclinação.

O segmento AC, representado pela letra d, é secante a curva e tem sua inclinação "média" definida pela razão de b com a, no caso dessa figura. No entanto se analisarmos os pontos separadamente, fica evidente que no ponto A à curva é menos inclinada do que no ponto C.  E como poderíamos definir a inclinação da curva num ponto qualquer, o ponto D por exemplo?

Acertou aquele que pensou, que é só ampliar a figura o quanto for necessário próximo ao ponto D. Então vamos providenciar isso.

Além de ampliar, tomei dois pontos bem próximos de D, o D1 e D2 (não são os bananas de pijama B1 e B2, muito menos um deles é o Marcelo). Estes pontos bem próximos de D, que serão utilizados para calcularmos a inclinação da curva em D, ou tão próximo como necessário. Como já foi dito quando você amplia bastante - muito, na verdade, ao infinito (palavrinha que ainda não tinha dito) - o pequeno pedaço da curva se torna reta (digam amem! Um milagre), assim você usa a matemática básica e descobre a inclinação nesse ponto. É assim que a diferenciação funciona. 

Então a DIFERENCIAÇÂO = INCLINAÇÃO DA CURVA NUM PONTINHO.

Mas para achar a inclinação a gente usa uma... alguém lembra?.. uma.. RAZÃO - que é igual ao aumento pela distância, assim a derivada também é uma razão, como quilômetros por hora ou litros por minuto (o nome de uma razão em particular depende simplesmente das unidades usadas nos eixo x e y).

Tomando a física como exemplo, vamos verificar o deslocamento de um carro em relação ao tempo, no gráfico:

No gráfico acima, temos a representação da velocidade média. Se você forçar a memória e se lembrar do seu professor do ensino médio, lá no primeiro ano, dizendo: "A velocidade média de um porco...OPS!! Quero dizer um corpo é a variação da distância distância dividida pelo variação do tempo!". Com essa clara definição que acaba de surgir em sua mente podemos perceber que basta fazer a variação da distância - representada no eixo y - dividir pela variação do tempo - representado no eixo x - nos pontos A e B, para calcular a velocidade média entre esses dois pontos.
Senhores, em resumo, para definir a velocidade média, basta fazer a razão entre a distância percorrida no intervalo de tempo, matematicamente dizendo, basta calcular a inclinação da reta AB. como é feito quando se trabalha com matemática básica e física do ensino médio.

Mas e se caso quisesse definir uma velocidade num ponto qualquer, num dado momento, numa dada posição? Como calcular a velocidade exata do corpo quando este estiver sobre o ponto C?

Nesse caso, deve-se utilizar o Cálculo para definir a velocidade exata naquele momento, ou como dizemos na física, a velocidade instantanea. Usando a derivada você pode definir a velocidade local no ponto C, basta definir a inclinação exata neste mesmo ponto. Mas exatamente no ponto C, por um único momento infinitesimal, você acha uma inclinação diferente das inclinações dos seus "vizinhos". Como Fazemos isso?
Lembre-se do que já foi dito. Vamos aproximar do ponto C o máximo que puder, de maneira infinitesimal, para encontrar a velocidade instantânea no ponto C.
 Observe a representação da aproximação do ponto B do A:

Obs: Não sei o que é aquele "c" descendo a esquerda..

Galera, após o post de hoje, estou deixando um probleminha para que possam pensar e tentar resolver. Se quiserem saber a resposta, entrem em contato comigo.
Quer entrar em contato? É fácil! Existe uma coluna a esquerda e no topo dela, vocês podem se comunicar e tirar suas dúvidas! Obrigado por visitarem o Blog Mistérios do Cálculo Diferencial e Integral.

Problema: Qual a inclinação da reta tangente a curva f(x) = x³ - 4x² + 7no ponto (3, -2)?

Qual seria a equação da reta tangente a curva nesse ponto?