Chega de Introdução, Vamos ao Cálculo

 Limites e Continuidade - Parte I

Como já falamos, limites são fundamentais para o Cálculo Diferencial e Integral. A definição formal de uma derivada envolve limite assim como a definição de uma integral definida. Agora, contata-se que depois de você aprender os atalhos para calcular derivadas e integrais, você não vai mais precisar usar os métodos de limite longos (o que acaba sendo mentira, pois, mesmo usando os atalhos, se você não compreende os limites, você não aprendeu nada - apenas decorou fórmulas). Mas entender a matemática dos limites é, todavia, importante porque forma a base na qual a vasta arquitetura do cálculo está construída (falei bonito!!).

Chega!!!! Já estou no meu Limite!!!

Limites podem ser complicados. Mas não se preocupe se você não compreender o conceito à primeira vista.

Definição: "O limite de uma função - se ele existir - para algum valor de x tendendo a c, é a altura da qual a função cada vez mais se aproxima à medida que x se aproxima de c pela esquerda e pela direita." 

 Eu sei! Eu sei! Você ainda não compreendeu! Isso é normal!

Vou tentar reformular essa ideia, vamos ver se agora você acompanha o raciocínio. Antes de reformular, lembre-se: caso não entenda, não se preocupe! Um dia você entende!.

Uma função f(x) possui um limite L quando x se aproxima de um c qualquer, desde que o "erro" entre f(x) e L possa ser feito menor do que qualquer número positivo, sempre que x aproxime mas não seja igual a c.
Para que entendam melhor o que quis dizer, vamos refletir sobre o conjunto dos números Reais, qual o próximo número depois de 2?
Se você disse 3; ou 2,1; quem sabe disse 2,0001; talvez diga até 2,0000000000000000000000000001;  pois saiba que errou feio em todas essas respostas. O conjunto dos números Reais é infinito e enumerável (não conseguimos numerá-lo), dessa forma o próximo termo após o 2 é tão próximo que fica difícil de dizer qual é. Uma maneira de sanar tal dificuldade é usar a letra grega épsilon - que é o menor intervalo entre um dado número e o seu sucessor.

Gostaria de apresentar a vocês o Épsilon:

"O menor intervalo existente entre dois números consecutivos dentro do conjunto dos número Reais."

Já que conheceram o épsilon e mesmo assim, não tenham compreendido o conceito de limite, minha ultima alternativa é dizer que o limite de f  no ponto c será L se o valor de f se aproximar de L quando x se aproximar de c.

Para aqueles que entenderam, ótimo! Mas para os que ainda não compreenderam, não se desesperem. Não adianta chorar, o limite de sua paciência ainda não chego e nossa função é que não chegue - quem realmente entendeu o conceito, entendeu a piada - mas enfim, se não entendeu ainda, vai começar entender através de exemplos.

Antes de colocar os exemplos pra que possamos entender a ideia de limites, vou escrever a notação usada nos livros.

Limite de uma função, quando x tende a c é L

 Vamos usar a função f(x) = 2x + 1. Através do conceito de limite, se fizermos um valor x qualquer se aproximar de 3, temos que f(x) se aproximará de uma altura 7. Porém, isso só acontecerá se x aproximar de 3  pela esquerda e pela direita e fazendo o f(x) se aproximar de 7.

 Observando a tabela, você pode ver que y está cada vez mais perto de 7 em ambos os lados. Se você estiver se contorcendo e pensando sobre porque tanto alvoroço - porque não colocar o número 3 no lugar do x e obter uma resposta igual a 7 (f(3)=2*3+1=7) - eu tenho certeza que você não está sozinho, com certeza tem muita companhia. 

Mas esse pensamento não está totalmente incorreto, pois a função dada é contínua. E em uma função contínua o limite é igual a função no ponto - mas voltaremos a falar disso mais a frente. 

A questão problema está em funções não contínuas, as chamadas descontínuas. Em outras palavras são funções que possuem buracos, separações. Uma boa maneira de definir se é contínua ou descontínua, basta construir o gráfico manualmente, caso tenha q retirar o lápis do papel durante algum instante a função é descontínua, no entanto, se escrevê-la sem retirar, a função é contínua.

Para facilitar a compreensão, vou utilizar uma função "parecida" com a utilizada anteriormente, exceto pelo fato de existir um salto no gráfico:

Observe que esse novo gráfico possui uma diferença tão pequena em relação ao lá de cima, onde deveria estar o ponto (3,7), temos um buraco, e sem contar que aparece um ponto em (3,4). Essa função é nitidamente um caso de função descontínua e para x igual a 3, tem-se y igual a 4, e não, igual a 7, como era anteriormente definido pela primeira função.

Na verdade essa função - chamada agora de g(x) - nunca apareceria em um problema de cálculo simples - apenas estamos usando-a para facilitar a compreensão acerca do limite.

Um resumo da função g(x): para x = 3,  tem-se y = 4 (g(3)=4), mas o limite de g(x) para x tendendo a 3, continua sendo 7 (lim g(x) = 7), como representa a primeira tabela.

Outra função problema, que considero ainda mais importante do que a g(x) é a h(x), que vem representada no gráfico a seguir:

Nesse caso, h(x) se aproxima mais de f(x), exceto pelo buraco presente no que seria o ponto (3,7) e não possuir um outro ponto para x = 3.

Vamos voltar a tabela acima, aquela que nos dá a aproximação do limite da função f(x). Por se tratar de aproximação, será que podemos concordar que esta tabela poderia servir para as funções g(x) e h(x)? Nas três funções o valor de x aproxima de 3 pela esquerda e pela direita, fazendo y se aproximar cada vez mais de uma altura igual a 7. Dessa forma o limite das três funções quando x se aproxima do mesmo valor é igual a 7. Galera, dessa forma, independente se existe um ponto sobre a função, fora dela, ou mesmo que não exista, o limite nos dá uma aproximação ideal.

Vamos considerar as três funções em x = 3 : f(3) é igual a 7, g(3) é 5, e h(3) não existe (falando matematicamente, é indefinido). Mas quando você está calculando o limite dessas funções à medida que x se aproxima de 2, o que realmente acontece em x = 2 é irrelevante, pois o que importa é os valores que se aproximam e não o valor no exato ponto.

Neste post, foi observado o que é realmente o limite. Mas antes de finalizá-lo, vou preencher a mente de vocês com algumas propriedades importantes dos limites:

Para o fim desta postagem preparei uns exemplos básicos. Com eles você entenderá como a matemática dos limites funciona.

O primeiro desses exemplos é simples, basta substituir o valor de x na função dada:

 No segundo exemplo, pode ser feito apenas jogando o valor de x na função:

Como foi feito nos dois exemplos acima, basta jogar o valor de x na função. No entanto, ao fazer isso, vê-se que o resultado se trata de uma indeterminação.
Para calcular o limite, devemos "manipular" a função com finalidade de retirar esta indeterminação:

 O quarto exemplo é o caso de não existência de um limite no ponto dado. O resultado encontrado não pertence ao conjunto dos números Reais. Com isso diz-se que não possui limite.

Agora é sua vez de praticar:

Na próxima postagem teremos o prazer de falar sobre os limites laterais, e a importância deles para a existência do limite. Até lá!
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