Até agora focamos em entender:
- o que é o Cálculo
- o que ele estuda
- onde encontrá-lo no cotidiano
Mas a frase mais lida nesse Blog foi: "ao ampliar uma curva até que se torne uma reta localmente". O Cálculo funciona por causa dessa natureza básica das curvas - que elas são localmente retas - em outras palavras, curvas são retas quando vistas em um microscópio (observação realizada bem de perto). Um exemplo a ser lembrado é o da Terra de sua curvatura, por estarmos tão próximos, para nós, a Terra se parece um plano reto.
O Cálculo funciona porque uma vez que as curvas sejam retas, você pode usar a álgebra e a geometria básica com elas. O processo de ampliação é alcançado através da matemática dos limites.
Matemática dos Limites: é o microscópio que amplia as curvas, deixando-as localmente retas.
Digamos que você precisa da inclinação exata de uma parábola y = x² no ponto (1,1).
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Com a fórmula de inclinação usada em álgebra, você pode descobrir a inclinação de uma reta entre os pontos (1,1) e (2,4). De (1,1) para (2,4) você anda uma casa e sobe três, então a inclinação é 3. Mas você pode notar que essa reta é mais inclinada do que a reta tangente no ponto (1,1) que mostra a inclinação da parábola nesse ponto específico. De certa forma, o processo do limite deixa você deslizar para baixo o ponto que começa na posição (2,4) até as proximidades do ponto (1,1) até que seja a um milionésimo, depois um bilionésimo, e assim sucessivamente até o nível microscópio. Se você fizer as contas, as inclinações entre o ponto (1,1) e o seu ponto móvel vão se parecer mais ou menos com 2,001; 2,000001; 2,000000001; e assim por diante.
OBS: quanto mais o ponto B se aproxima de A, menor é o ângulo entre a reta tangente no ponto A e o segmento AB, ou seja, quão mais próximo B está de A, mais o segmento se aproxima da inclinação da reta tangente a A.
E com a quase mágica dos limites, você pode concluir que a inclinação em (1,1) (se ele chegasse, você só teria um ponto sobrando e você precisa de dois pontos separados para definir uma reta e definir sua inclinação). A matemática dos limites é todas baseada nesse processo de ampliação e aproximação, e ele funciona, novamente, porque quanto mais você amplia, mais reta a curva fica.
Vimos que para definir a inclinação de uma curva em um determinado ponto, devemos ampliar a curva "infinitas" vezes, até que essa se torne uma reta. Quando a ampliação de uma curva é suficiente para torná-la uma reta localmente, podemos aplicar a matemática básica, definindo a inclinação. O mesmo pode ser usado para encontrar a área de uma curva e o comprimento da mesma. No entanto, para encontrar a área e o comprimento, calculamos localmente e somamos todas as pequenas partes calculadas.
Ou seja, após ampliar infinitamente, a curva está perfeitamente reta e agora as fórmulas da álgebra e da geometria básica funcionam.
Em resumo, o Cálculo, dessa forma, dá à álgebra e a geometria básica o poder para lidar com problemas complicados envolvendo quantidades em constante modificação (o que nos gráficos aparecem como curvas). Isso que você como certeza pode contar - além da morte e dos impostos - é que as coisas estão sempre mudando.
OBS. Quando comento sobre uma ampliação infinita ou ampliar infinitas vezes, não são termos completamente corretos. Pois, ao falar do infinito, entramos em terreno duvidoso. O que realmente quero dizer é que vamos ampliar de tal forma que estaremos observando uma parte tão ínfima (pequeninininininissima) que mal podemos imaginar.
E essa foi mais uma postagem sobre o Cálculo Diferencial e Integral e seus mistérios. O que para muitos é muito complicado, aqui poderá ser resolvido em poucas palavras.
Qual a definição da palavra LIMITE?
Escreva o número mais próximo de 2 que pertence ao conjunto dos números Reais?
E com a quase mágica dos limites, você pode concluir que a inclinação em (1,1) (se ele chegasse, você só teria um ponto sobrando e você precisa de dois pontos separados para definir uma reta e definir sua inclinação). A matemática dos limites é todas baseada nesse processo de ampliação e aproximação, e ele funciona, novamente, porque quanto mais você amplia, mais reta a curva fica.
Ou seja, após ampliar infinitamente, a curva está perfeitamente reta e agora as fórmulas da álgebra e da geometria básica funcionam.
Em resumo, o Cálculo, dessa forma, dá à álgebra e a geometria básica o poder para lidar com problemas complicados envolvendo quantidades em constante modificação (o que nos gráficos aparecem como curvas). Isso que você como certeza pode contar - além da morte e dos impostos - é que as coisas estão sempre mudando.
OBS. Quando comento sobre uma ampliação infinita ou ampliar infinitas vezes, não são termos completamente corretos. Pois, ao falar do infinito, entramos em terreno duvidoso. O que realmente quero dizer é que vamos ampliar de tal forma que estaremos observando uma parte tão ínfima (pequeninininininissima) que mal podemos imaginar.
E essa foi mais uma postagem sobre o Cálculo Diferencial e Integral e seus mistérios. O que para muitos é muito complicado, aqui poderá ser resolvido em poucas palavras.
Qual a definição da palavra LIMITE?
Escreva o número mais próximo de 2 que pertence ao conjunto dos números Reais?
