Já chegamos ao seu LIMITE? Espero que não! Então vamos dar CONTINUIDADE ao assunto!

 Limites e Continuidade - Parte II

A ideia de limite só é válida quando anexamos o princípio de limites laterais. Esses limites funcionam como os limites bilaterais regulares, com exceção do x se aproximar do número definido apelas pela esquerda ou pela direita. O objetivo mais importante para esses tipos de limites é que eles são usados na definição formal de um limite regular.

 Para indicar um limite lateral, você coloca um pequeno sinal de subtração sobrescrito no número a que x tende, quando quiser indicar que x tende a esse número pela esquerda. A reciproca é verdadeira quando x tende ao número pela direita, nesse caso se colocar um sinal de adição sobrescrito nesse número.

E se eu perguntasse, qual o limite da função acima, quando x  tende ao valor 3? Qual seria sua resposta?
Para você, que disse 4! Você, está errado... Já para você que disse 6, com certeza, também está errado!
A questão da matemática dos limites, é que quando dizemos que existe o limite da função num determinado ponto, estamos afirmando que os limites laterais existem e são iguais. Caso algo esteja fora desses padrões, dizemos que o limite não existe. Como o caso acima, ao definir o limite pela esquerda de 3 tem-se o valor 4, mas ao tentar limitar pela direita, encontra-se o valor 6. Como os valores dos limites laterais são diferentes dizemos: "Não existe um limite para quando x  tende a 3, meu filho!".
Com tudo que foi falado, vamos entender o que é o limite:
Definição de limite: Deixe que f uma função e deixe que a seja um numero real.

 Quando nós dizemos que um limite existe, isso significa que o limite é igual a um número finito. Alguns limites são iguais ao infinito ou ao infinito negativo, mas você, no entanto, diz que eles não existem. Isso pode parecer estranho, você compreenderá melhor quando falarmos de limites infinitos e assíntotas verticais.
Uma função racional como:

tem assíntotas verticais no ponto x = - 2 e x = 4. Você se lembra das assíntotas? Elas são linhas imaginária das quais uma função se aproxima cada vez mais à medida que sobe, desce, vai para esquerda, ou para a direita em direção ao infinito.
Considere o limite da função à medida que x se aproxima de -2. À medida que x se aproxima de -2 pela esquerda, f(x) desce para menos infinito; e à medida que x  se aproxima de -2 pela direita, f(x)  sobe para infinito.

 Como pode se ver o mesmo acontece quando x se aproxima de 4 pela esquerda e pela direita.
Até agora eu observei os limites onde o x se aproxima de um número finito, regular e Real. Mas x também pode se "aproximar do infinito positivo e negativo". Estes tipos de limite, só existem quando a função possui assíntotas horizontais, ou seja, x tende ao infinito e a função se limita por um número Real, regular e finito.
No caso da função a cima, ela possui uma assíntota horizontal para y = 1. Veja que quando x tende a infinito ou a menos infinito o valor da função se aproxima de 1.

Agora, vou deixar alguns exercícios para que possam praticar. A próxima postagem será relativa a Continuidade! Até lá!

 

Chega de Introdução, Vamos ao Cálculo

 Limites e Continuidade - Parte I

Como já falamos, limites são fundamentais para o Cálculo Diferencial e Integral. A definição formal de uma derivada envolve limite assim como a definição de uma integral definida. Agora, contata-se que depois de você aprender os atalhos para calcular derivadas e integrais, você não vai mais precisar usar os métodos de limite longos (o que acaba sendo mentira, pois, mesmo usando os atalhos, se você não compreende os limites, você não aprendeu nada - apenas decorou fórmulas). Mas entender a matemática dos limites é, todavia, importante porque forma a base na qual a vasta arquitetura do cálculo está construída (falei bonito!!).

Chega!!!! Já estou no meu Limite!!!

Limites podem ser complicados. Mas não se preocupe se você não compreender o conceito à primeira vista.

Definição: "O limite de uma função - se ele existir - para algum valor de x tendendo a c, é a altura da qual a função cada vez mais se aproxima à medida que x se aproxima de c pela esquerda e pela direita." 

 Eu sei! Eu sei! Você ainda não compreendeu! Isso é normal!

Vou tentar reformular essa ideia, vamos ver se agora você acompanha o raciocínio. Antes de reformular, lembre-se: caso não entenda, não se preocupe! Um dia você entende!.

Uma função f(x) possui um limite L quando x se aproxima de um c qualquer, desde que o "erro" entre f(x) e L possa ser feito menor do que qualquer número positivo, sempre que x aproxime mas não seja igual a c.
Para que entendam melhor o que quis dizer, vamos refletir sobre o conjunto dos números Reais, qual o próximo número depois de 2?
Se você disse 3; ou 2,1; quem sabe disse 2,0001; talvez diga até 2,0000000000000000000000000001;  pois saiba que errou feio em todas essas respostas. O conjunto dos números Reais é infinito e enumerável (não conseguimos numerá-lo), dessa forma o próximo termo após o 2 é tão próximo que fica difícil de dizer qual é. Uma maneira de sanar tal dificuldade é usar a letra grega épsilon - que é o menor intervalo entre um dado número e o seu sucessor.

Gostaria de apresentar a vocês o Épsilon:

"O menor intervalo existente entre dois números consecutivos dentro do conjunto dos número Reais."

Já que conheceram o épsilon e mesmo assim, não tenham compreendido o conceito de limite, minha ultima alternativa é dizer que o limite de f  no ponto c será L se o valor de f se aproximar de L quando x se aproximar de c.

Para aqueles que entenderam, ótimo! Mas para os que ainda não compreenderam, não se desesperem. Não adianta chorar, o limite de sua paciência ainda não chego e nossa função é que não chegue - quem realmente entendeu o conceito, entendeu a piada - mas enfim, se não entendeu ainda, vai começar entender através de exemplos.

Antes de colocar os exemplos pra que possamos entender a ideia de limites, vou escrever a notação usada nos livros.

Limite de uma função, quando x tende a c é L

 Vamos usar a função f(x) = 2x + 1. Através do conceito de limite, se fizermos um valor x qualquer se aproximar de 3, temos que f(x) se aproximará de uma altura 7. Porém, isso só acontecerá se x aproximar de 3  pela esquerda e pela direita e fazendo o f(x) se aproximar de 7.

 Observando a tabela, você pode ver que y está cada vez mais perto de 7 em ambos os lados. Se você estiver se contorcendo e pensando sobre porque tanto alvoroço - porque não colocar o número 3 no lugar do x e obter uma resposta igual a 7 (f(3)=2*3+1=7) - eu tenho certeza que você não está sozinho, com certeza tem muita companhia. 

Mas esse pensamento não está totalmente incorreto, pois a função dada é contínua. E em uma função contínua o limite é igual a função no ponto - mas voltaremos a falar disso mais a frente. 

A questão problema está em funções não contínuas, as chamadas descontínuas. Em outras palavras são funções que possuem buracos, separações. Uma boa maneira de definir se é contínua ou descontínua, basta construir o gráfico manualmente, caso tenha q retirar o lápis do papel durante algum instante a função é descontínua, no entanto, se escrevê-la sem retirar, a função é contínua.

Para facilitar a compreensão, vou utilizar uma função "parecida" com a utilizada anteriormente, exceto pelo fato de existir um salto no gráfico:

Observe que esse novo gráfico possui uma diferença tão pequena em relação ao lá de cima, onde deveria estar o ponto (3,7), temos um buraco, e sem contar que aparece um ponto em (3,4). Essa função é nitidamente um caso de função descontínua e para x igual a 3, tem-se y igual a 4, e não, igual a 7, como era anteriormente definido pela primeira função.

Na verdade essa função - chamada agora de g(x) - nunca apareceria em um problema de cálculo simples - apenas estamos usando-a para facilitar a compreensão acerca do limite.

Um resumo da função g(x): para x = 3,  tem-se y = 4 (g(3)=4), mas o limite de g(x) para x tendendo a 3, continua sendo 7 (lim g(x) = 7), como representa a primeira tabela.

Outra função problema, que considero ainda mais importante do que a g(x) é a h(x), que vem representada no gráfico a seguir:

Nesse caso, h(x) se aproxima mais de f(x), exceto pelo buraco presente no que seria o ponto (3,7) e não possuir um outro ponto para x = 3.

Vamos voltar a tabela acima, aquela que nos dá a aproximação do limite da função f(x). Por se tratar de aproximação, será que podemos concordar que esta tabela poderia servir para as funções g(x) e h(x)? Nas três funções o valor de x aproxima de 3 pela esquerda e pela direita, fazendo y se aproximar cada vez mais de uma altura igual a 7. Dessa forma o limite das três funções quando x se aproxima do mesmo valor é igual a 7. Galera, dessa forma, independente se existe um ponto sobre a função, fora dela, ou mesmo que não exista, o limite nos dá uma aproximação ideal.

Vamos considerar as três funções em x = 3 : f(3) é igual a 7, g(3) é 5, e h(3) não existe (falando matematicamente, é indefinido). Mas quando você está calculando o limite dessas funções à medida que x se aproxima de 2, o que realmente acontece em x = 2 é irrelevante, pois o que importa é os valores que se aproximam e não o valor no exato ponto.

Neste post, foi observado o que é realmente o limite. Mas antes de finalizá-lo, vou preencher a mente de vocês com algumas propriedades importantes dos limites:

Para o fim desta postagem preparei uns exemplos básicos. Com eles você entenderá como a matemática dos limites funciona.

O primeiro desses exemplos é simples, basta substituir o valor de x na função dada:

 No segundo exemplo, pode ser feito apenas jogando o valor de x na função:

Como foi feito nos dois exemplos acima, basta jogar o valor de x na função. No entanto, ao fazer isso, vê-se que o resultado se trata de uma indeterminação.
Para calcular o limite, devemos "manipular" a função com finalidade de retirar esta indeterminação:

 O quarto exemplo é o caso de não existência de um limite no ponto dado. O resultado encontrado não pertence ao conjunto dos números Reais. Com isso diz-se que não possui limite.

Agora é sua vez de praticar:

Na próxima postagem teremos o prazer de falar sobre os limites laterais, e a importância deles para a existência do limite. Até lá!
Em caso de dúvidas, utilize o campo "Tem dúvidas? Quer pegar aulas de Cálculo? mande-me um e-mail!".

Entendendo como o Cálculo funciona!

A engrenagem que movimenta o Cálculo!

Até agora focamos em entender:

• o que é o Cálculo
• o que ele estuda
• onde encontrá-lo no cotidiano

Mas a frase mais lida nesse Blog foi: "ao ampliar uma curva até que se torne uma reta localmente". O Cálculo funciona por causa dessa natureza básica das curvas - que elas são localmente retas - em outras palavras, curvas são retas quando vistas em um microscópio (observação realizada bem de perto). Um exemplo a ser lembrado é o da Terra de sua curvatura, por estarmos tão próximos, para nós, a Terra se parece um plano reto.

O Cálculo funciona porque uma vez que as curvas sejam retas, você pode usar a álgebra e a geometria básica com elas. O processo de ampliação é alcançado através da matemática dos limites.

Matemática dos Limites: é o microscópio que amplia as curvas, deixando-as localmente retas. 

Digamos que você precisa da inclinação exata de uma parábola y = x² no ponto (1,1).

Com a fórmula de inclinação usada em álgebra, você pode descobrir a inclinação de uma reta entre os pontos (1,1) e (2,4). De (1,1) para (2,4) você anda uma casa e sobe três, então a inclinação é 3. Mas você pode notar que essa reta é mais inclinada do que a reta tangente no ponto (1,1) que mostra a inclinação da parábola nesse ponto específico. De certa forma, o processo do limite deixa você deslizar para baixo o ponto que começa na posição (2,4) até as proximidades do ponto (1,1) até que seja a um milionésimo, depois um bilionésimo, e assim sucessivamente até o nível microscópio. Se você fizer as contas, as inclinações entre o ponto (1,1) e o seu ponto móvel vão se parecer mais ou menos com 2,001; 2,000001; 2,000000001; e assim por diante.

OBS: quanto mais o ponto B se aproxima de A, menor é o ângulo entre a reta tangente no ponto A e o segmento AB, ou seja, quão mais próximo B está de A, mais o segmento se aproxima da inclinação da reta tangente a A.

E com a quase mágica dos limites, você pode concluir que a inclinação em (1,1) (se ele chegasse, você só teria um ponto sobrando e você precisa de dois pontos separados para definir uma reta e definir sua inclinação). A matemática dos limites é todas baseada nesse processo de ampliação e aproximação, e ele funciona, novamente, porque quanto mais você amplia, mais reta  a curva fica.

Vimos que para definir a inclinação de uma curva em um determinado ponto, devemos ampliar a curva "infinitas" vezes, até que essa se torne uma reta. Quando a ampliação de uma curva é suficiente para torná-la uma reta localmente, podemos aplicar a matemática básica, definindo a inclinação. O mesmo pode ser usado para encontrar a área de uma curva e o comprimento da mesma. No entanto, para encontrar a área e o comprimento, calculamos localmente e somamos todas as pequenas partes calculadas.
Ou seja, após ampliar infinitamente, a curva está perfeitamente reta e agora as fórmulas da álgebra e da geometria básica funcionam.
Em resumo, o Cálculo, dessa forma, dá à álgebra e a geometria básica o poder para lidar com problemas complicados envolvendo quantidades em constante modificação (o que nos gráficos aparecem como curvas). Isso que você como certeza pode contar - além da morte e dos impostos - é que as coisas estão sempre mudando.

OBS. Quando comento sobre uma ampliação infinita ou ampliar infinitas vezes, não são termos completamente corretos. Pois, ao falar do infinito, entramos em terreno duvidoso. O que realmente quero dizer é que vamos ampliar de tal forma que estaremos observando uma parte tão ínfima (pequeninininininissima) que mal podemos imaginar.

E essa foi mais uma postagem sobre o Cálculo Diferencial e Integral e seus mistérios. O que para muitos é muito complicado, aqui poderá ser resolvido em poucas palavras.

Qual a definição da palavra LIMITE? 
Escreva o número mais próximo de 2 que pertence ao conjunto dos números Reais? 

As grandes sacadas do Cálculo - Parte II

Integração

Vamos adicionar essa ideia!

A integração é a segunda grande Sacada do Cálculo, e é basicamente apenas uma adição sofisticada. Integração é o processo de dividir uma área em pequenas secções, descobrir (resolver) as áreas das secções menores (pequenininhas), e depois somar os pequenos pedaços da área para achar a área total da figura (geralmente não trivial).

Vamos colocar isso em prática:

 No gráfico da reta constante (y = 15), a área sombreada abaixo da função é um retângulo simples, então sua área, é claro, é igual à base vezes a altura. Mas você não pode descobrir a área sombreada abaixo da função a seguir. Pelo menos não poderá definir a área da figura utilizando apenas geometria básica, sem dividir a figura em vária outras.

 

Uma solução adequada é ampliar a figura em todos os pontos. Dividindo a área abaixo da curva em várias áreas menores. Como disse na aula anterior, quando aproximamos de um ponto a curva, se aproxima de uma reta - na integração, ampliamos a uma distância infinita, de certa forma, Ampliando:

 Se observarmos, bem de perto, agora temos vários trapézios. Sendo assim, podemos calcular a área de cada trapézio e depois somamos todas as áreas encontradas, definindo a área total. Isso é integração.

Veja como ficaria as várias partições:

Conhecida como Soma de Riemann - nesse caso tem a superior e a inferior - mas esse é um assunto pra depois!

Outro exemplo de integração: vamos imaginar duas Cidades distintas A e B, que possuem consumos de energia elétrica diferentes como definido nos gráficos:

Num gráfico quilowatts por horas podemos ver o consumo de energia elétrica em um dia. Este consumo é representado pela área representada de zero até a curva e de zero horas até as 23:59 representadas em um dias.

No gráfico da Cidade A, podemos dividir a figura em 3 parte calculando a área de 3 trapézios,  o que já nos é trivial - poderia ser subdividido em retângulos e triângulos. No caso da Cidade B, precisaremos usar o Cálculo - a Integração.

Integral é o ato de subdividir uma figura até que se tenha micro áreas calculáveis a partir das regras de matemática básica, e depois somá-las, formando, novamente, o todo!

Problema: Qual a área da figura formada pelas curvas: ,  e situado no primeiro quadrante?

Se você dividir a figura mais vezes, o resultado chegará mais próximo do esperado? Justifique!

Galera, as próximas postagens entrarei mais a fundo na matéria, o que vimos aqui foi apenas uma leve introdução. 

As grandes sacadas do Cálculo - Parte I

Diferenciação

A diferenciação é o processo de achar a derivada, e a derivada de uma curva é apenas um termo sofisticado do cálculo para a inclinação da curva. A inclinação de uma curva é também uma simples razão como quilômetros por hora ou lucro por produto vendido. 

Vamos lembrar então da derivada como uma inclinação! Isso mesmo eu disse lembrar, pois eu já falei sobre isso. Na primeira postagem, quando falei da rampa curvilínea, foi um claro exemplo de diferenciação.

Quando aprenderam álgebra, ou em trigonometria, vocês aprenderam sobre a inclinação da reta, sendo como a razão entre o aumento (altura) e a distância (comprimento horizontal). Em outras palavras: inclinação = aumento / distância (vai ser Freud escrever um blog que não possui capacidade para escrita matemática).

Observem a figura! A reta a possui uma inclinação. Para calcular o valor dessa inclinação definimos duas medidas (horizontal e vertical), uma no eixo das abcissas (x) e outro no eixo das ordenadas (y), ou como foi dito aumento e distância, onde o aumento é representado pela letra b  e a distância pela letra c. Logo a inclinação é b/c.

Se atribuirmos b = 1 e c = 3 teremos a inclinação igual 1/3. Mas se caso, considerássemos b = 2 e c = 6, também teríamos a mesma inclinação, mas isso é uma questão de fração irredutível, não vem ao caso.

A inclinação de uma reta é sempre constante, entre qualquer dois pontos definidos na reta, podemos calcular sua inclinação, que será sempre constante. Já em uma curva, não se pode afirmar o mesmo, a inclinação está constantemente mudando então você precisa do Cálculo para determinar a inclinação.

O segmento AC, representado pela letra d, é secante a curva e tem sua inclinação "média" definida pela razão de b com a, no caso dessa figura. No entanto se analisarmos os pontos separadamente, fica evidente que no ponto A à curva é menos inclinada do que no ponto C.  E como poderíamos definir a inclinação da curva num ponto qualquer, o ponto D por exemplo?

Acertou aquele que pensou, que é só ampliar a figura o quanto for necessário próximo ao ponto D. Então vamos providenciar isso.

Além de ampliar, tomei dois pontos bem próximos de D, o D1 e D2 (não são os bananas de pijama B1 e B2, muito menos um deles é o Marcelo). Estes pontos bem próximos de D, que serão utilizados para calcularmos a inclinação da curva em D, ou tão próximo como necessário. Como já foi dito quando você amplia bastante - muito, na verdade, ao infinito (palavrinha que ainda não tinha dito) - o pequeno pedaço da curva se torna reta (digam amem! Um milagre), assim você usa a matemática básica e descobre a inclinação nesse ponto. É assim que a diferenciação funciona. 

Então a DIFERENCIAÇÂO = INCLINAÇÃO DA CURVA NUM PONTINHO.

Mas para achar a inclinação a gente usa uma... alguém lembra?.. uma.. RAZÃO - que é igual ao aumento pela distância, assim a derivada também é uma razão, como quilômetros por hora ou litros por minuto (o nome de uma razão em particular depende simplesmente das unidades usadas nos eixo x e y).

Tomando a física como exemplo, vamos verificar o deslocamento de um carro em relação ao tempo, no gráfico:

No gráfico acima, temos a representação da velocidade média. Se você forçar a memória e se lembrar do seu professor do ensino médio, lá no primeiro ano, dizendo: "A velocidade média de um porco...OPS!! Quero dizer um corpo é a variação da distância distância dividida pelo variação do tempo!". Com essa clara definição que acaba de surgir em sua mente podemos perceber que basta fazer a variação da distância - representada no eixo y - dividir pela variação do tempo - representado no eixo x - nos pontos A e B, para calcular a velocidade média entre esses dois pontos.
Senhores, em resumo, para definir a velocidade média, basta fazer a razão entre a distância percorrida no intervalo de tempo, matematicamente dizendo, basta calcular a inclinação da reta AB. como é feito quando se trabalha com matemática básica e física do ensino médio.

Mas e se caso quisesse definir uma velocidade num ponto qualquer, num dado momento, numa dada posição? Como calcular a velocidade exata do corpo quando este estiver sobre o ponto C?

Nesse caso, deve-se utilizar o Cálculo para definir a velocidade exata naquele momento, ou como dizemos na física, a velocidade instantanea. Usando a derivada você pode definir a velocidade local no ponto C, basta definir a inclinação exata neste mesmo ponto. Mas exatamente no ponto C, por um único momento infinitesimal, você acha uma inclinação diferente das inclinações dos seus "vizinhos". Como Fazemos isso?
Lembre-se do que já foi dito. Vamos aproximar do ponto C o máximo que puder, de maneira infinitesimal, para encontrar a velocidade instantânea no ponto C.
 Observe a representação da aproximação do ponto B do A:

Obs: Não sei o que é aquele "c" descendo a esquerda..

Galera, após o post de hoje, estou deixando um probleminha para que possam pensar e tentar resolver. Se quiserem saber a resposta, entrem em contato comigo.
Quer entrar em contato? É fácil! Existe uma coluna a esquerda e no topo dela, vocês podem se comunicar e tirar suas dúvidas! Obrigado por visitarem o Blog Mistérios do Cálculo Diferencial e Integral.

Problema: Qual a inclinação da reta tangente a curva f(x) = x³ - 4x² + 7no ponto (3, -2)?

Qual seria a equação da reta tangente a curva nesse ponto?